Кит Йейтс. Математика жизни и смерти. Семь математических принципов, формирующих нашу жизнь. М.: Бомбора, 2021. Перевод с английского Александра Соловьёва. Содержание
1. Эмбрион развивается по экспоненте. К счастью, недолго
Свой рассказ о том, как сильно математика связана с нашей жизнью, Йейтс не случайно начинает с главы, посвященной экспоненциальному росту, ведь и с началом человеческой жизни он связан напрямую:
«Меня поражало то, как быстро менялись размеры плода от недели к неделе. На четвертой неделе ваш малыш был размером с маковое семя, а к пятой он раздувался до размера кунжутного! Иными словами, за неделю объем плода вырастал примерно в 16 раз. Хотя, возможно, такой быстрый рост вовсе не так уж и удивителен. После оплодотворения яйцеклетки сперматозоидом на первоначальном этапе развития плода получившаяся зигота проходит последовательные раунды „дробления” — деления клеток; количество клеток в развивающемся эмбрионе быстро растет».
К счастью, со временем рост замедляется — если бы эмбрион продолжал развиваться таким образом на протяжении всех девяти месяцев, постоянно удваивая количество клеток, то в итоге мы получили бы супермладенца, состоящего примерно из 10 253 клеток. Это число трудно осмыслить, поэтому Йейтс прибегает к эффектному сравнению: «Если бы каждый атом во Вселенной сам был бы копией нашей Вселенной, то общее количество атомов во всех этих вселенных было бы примерно эквивалентно количеству клеток супермладенца.
2. Чернобыльская катастрофа на четверть века парализовала продажу овец в Великобритании
Экспоненциальный рост — это история не только про зарождение жизни, но и про смерть и тотальное разрушение, ведь в соответствии с тем же принципом вырабатывается энергия, получаемая в результате расщепления атомных ядер. Говоря об этом, Йейтс вынуждает читателя в очередной раз задуматься, как слабо мы представляем реальные последствия Чернобыльской катастрофы, даже несмотря на то, что она давно уже прочно вошла в массовую культуру.
«В атмосферу было выброшено в сотни раз больше радиоактивных материалов, чем во время бомбардировки Хиросимы, что повлекло за собой широкомасштабные экологические последствия почти для всей Европы. Так, 2 мая 1986 года в горных районах Великобритании прошли необычайно сильные ливни. Капли этого дождя содержали радионуклиды — продукты ядерного распада, поднятые взрывом в атмосферу — стронций-90, цезий-137 и йод-131. В общей сложности около 1% радиации, выброшенной из чернобыльского реактора, выпало на территорию Великобритании. Эти радиоизотопы были поглощены почвой, откуда попали в растущую траву, которую съели овцы, пасшиеся на той земле. Результат — радиоактивное мясо».
Вообще-то, для автора эта история — скорее лирическое отступление, потому что к математике как таковой она имеет малое отношение и больше говорит нам о тематической широте, с которой Йейтс подходит к рассматриваемым сюжетам. Далее он повествует об овцеводе Дэвиде Элвуде, который из-за всего этого был вынужден вызывать государственного инспектора каждый раз, когда хотел продать овец, чтобы тот провел анализ и убедился, что их мясо все еще радиоактивно, а ограничения на продажу придется продлить. Эта волокита продолжалась целых 25 лет, хотя, по замечанию Йейтса (благодаря которому он снова возвращает нас к математическим вопросам), правительство вполне могло не изводить фермеров постоянными анализами, а просто сразу сказать им, когда уровень радиации придет в норму — благодаря феномену экспоненциального распада это вполне можно было просчитать с самого начала.
3. Время, ускоряющееся с возрастом, — не иллюзия
Многие из нас замечали, что чем старше становишься, тем чаще кажется, что время бежит слишком быстро — а, например, сохранившиеся в детских воспоминаниях летние каникулы у бабушки, как кажется с высоты прожитых лет, тянулись целую вечность. Это не заблуждение, а вполне конкретный факт. Эксперимент, проведенный в 1996 году, показал, что молодые и пожилые люди по-разному отсчитывают время в уме: молодежь воспринимает течение времени адекватно, а вот старшее поколение считает секунды гораздо медленнее. Существует два конкурирующих объяснения этому факту. В соответствии с одним из них, с возрастом метаболизм — а следом сердцебиение, дыхание и завязанное на них восприятие времени — замедляется. Согласно альтернативной теории, наше восприятие хода времени зависит от объема новой информации, которую мы получаем извне:
«Этот аргумент можно использовать для объяснения „кинематографического” восприятия событий, разыгрывающихся, словно в замедленной съемке, в моменты, непосредственно предшествующие тем же дорожным авариям. Ситуация для жертвы ДТП в этих сценариях незнакома настолько, что объем новой воспринимаемой информации огромен. Дело может быть в том, что в такой момент замедляется не само время, а наше ретроспективное воспоминание о событиях, так как наш мозг записывает более подробные воспоминания, основываясь на обрабатываемом потоке данных».
4. Принцип Архимеда помогает определить не только процент золота в короне, но и процент жира в человеке
Йейтс неоднократно говорит о том, что некоторые из математических методов, которыми человечество до сих пор активно пользуется, пришли к нам из глубин веков и с тех пор фактически не изменились. В качестве наиболее яркого примера он приводит архимедов метод «вытеснения», который тот, согласно легенде, использовал для определения химического состава короны и который до сих пор применяют для расчета объемов предметов неправильной формы. Автор напоминает, что популярное и упрощенное изложение метода при этом вряд ли близко к реальности — во времена Архимеда не существовало столь тонких измерительных приборов, которые могли бы с нужной точностью зафиксировать объем вытесненной воды:
«Скорее всего, Архимед использовал схожую идею из гидростатики, которая позже станет известна как принцип Архимеда. <...> Этот принцип также тесно связан с таким качеством, как плотность. Объект, плотность которого больше плотности воды, весит больше воды, которую он вытесняет, поэтому выталкивающей силы не хватит для того, чтобы поддерживать его на плаву, противодействуя его весу, — и этот объект утонет. В этих рамках задача Архимеда сводилась к тому, чтобы уравновесить на простых рычажных весах корону на одной чашке и исходную массу чистого золота на другой. На воздухе весы были бы сбалансированы. Однако, если эти весы погрузить в воду, на фальшивую корону выталкивающая сила воздействовала бы сильнее, так что чашка с фальшивой короной всплывала бы выше, чем чаша с золотом».
Впрочем, это все общеизвестные вещи, а между тем автор обещал нам объяснить, каким образом сформулированные в древности принципы работают в наши дни. Ну, например, говорит Йейетс, принцип Архимеда используется при точном подсчете процентного содержания жира в организме. Человека сначала взвешивают на суше, затем на стуле, погруженном в воду. А дальше уже дело техники.
5. С помощью «Уравнения Бога» буквально решается, кому жить, а кому умереть
«Уравнение Бога» — это система расчетов, которая существует в британском здравоохранении. Некоторые препараты (в том числе Spinraza, которая сегодня буквально у всех на слуху) крайне дороги, и для того, чтобы использовать их в системе и выдавать нуждающимся, приходится урезать расходы где-нибудь еще. В Великобритании за принятие таких сложных решений отвечает Национальный институт охраны здоровья и совершенствования медицинской помощи (NICE). Как раз в таких случаях он и пользуется «Уравнением Бога», которое пытается сбалансировать пользу от применения препарата с объемом дополнительных расходов. С расходами все ясно, но как адекватно высчитать и оценить пользу?
«NICE использует общий эталонный показатель, известный как год жизни с поправкой на качество 63, или QALY. При сравнении нового лечения с существующим QALY учитывает не только то, насколько лекарство может продлить жизнь, но и качество жизни, которое оно обеспечивает. <...> Вычислив надежный показатель QALY, новую методику лечения и прежнюю можно будет сравнить по разнице в QALY, которую они предлагают, и разнице в их стоимости. Если показатель QALY уменьшается, то новая методика будет немедленно отклонена. Если показатель QALY увеличивается, а стоимость уменьшается, то для одобрения более эффективной и более дешевой новой процедуры не нужно большого ума. Однако если, как это чаще всего бывает, растут и показатель QALY, и стоимость лечения, NICE приходится делать нелегкий выбор».
В таких случаях вводится коэффициент эффективности дополнительных затрат — отношение роста QALY к росту затрат. В августе 2018 года он был высчитан и для препарата Spinraza — в его случае дополнительные расходы достигли таких астрономических сумм, что превысили установленный организацией порог; «Уравнение Бога» постулировало, что допустить использование Spinraza в Национальной системе здравоохранения невозможно.
К счастью, для конкретной семьи, рассказ о которой Йейтс приводит в качестве примера, все кончилось благополучно — она попала в программу помощи одной из корпораций. Однако сам факт существования уравнения, которое может обернуться (и оборачивается) смертным приговором для множества детей и при этом вполне легитимно используется, заставляет о многом подумать.
6. Люди склонны принимать математические выкладки на веру, и это очень плохо
В 1894 году французская сотрудница разведки под прикрытием нашла записку, автор которой предлагал немцам купить французские военные секреты. В результате разбирательства был арестован капитан Альфред Дрейфус. Эксперт-почерковед усомнился в его виновности, однако французские власти обратились к дилетанту в этой области Альфонсу Бертильону, который вынес свое решение: согласно ему, это именно Дрейфус, намеренно исказивший свой почерк, был автором записки.
«Дело Дрейфуса» вам, скорее всего, известно — оно вызвало широкий общественный резонанс и стало знаковым для всей Европы. Но обычно оно обсуждается в социально-политическом контексте, а Йейтс предлагает взглянуть на другой аспект этой истории. В качестве доказательства своего сомнительного вывода Бертильон представил пример настолько замысловатого, невнятного и запутанного математического анализа, что его попросту никто не понял, и с мнимым экспертом решили на всякий случай не спорить. Чтобы разбить аргументы Бертильона, потребовался целый Анри Пуанкаре, который разобрался в его заключениях и нашел их несостоятельными. Ход мысли обоих героев и вычисления, которыми они руководствовались, подробно разобран в книге и приводить здесь мы его не будем. Для нас куда важнее вывод, к которому приходит Йейтс по итогам этой истории:
«Дело Дрейфуса демонстрирует как силу математически подкрепленных аргументов, так и легкость, с которой ими можно злоупотреблять. <...> Люди склонны принимать математические формулировки на веру, с умным видом соглашаясь с ними и не требуя дальнейших объяснений из почтения к их мудрому автору. Флер тайны, окружающий многие математические выкладки, делает их порой загадочно непонятными и — зачастую незаслуженно — невероятно убедительными».
7. Хуже — только принимать на веру статистику
Книга Йейтса изобилует примерами некорректных расчетов, обернувшихся драматичными или трагическими последствиями просто из-за того, что обывательское отношение к вероятностям часто бывает совершенно оторвано от реальности, а игра словами вместо компетентных математических выкладок может иметь фатальные последствия. Одна такая история имела место в 1990 году, когда житель Манчестера Эндрю Дин был обвинен присяжными в изнасиловании трех женщин и приговорен к шестнадцати годам тюремного заключения.
«В ходе судебного разбирательства адвокат обвинения Говард Бентам представил результаты анализа ДНК из спермы, найденной на одной из жертв. Бентам утверждал, что ДНК из образца крови Дина совпадает с ДНК из образца спермы. Когда он спросил свидетеля-эксперта: „Значит, вероятность того, что это какой-то другой человек, а не Эндрю Дин, составляет один на три миллиона?”, тот ответил утвердительно. А потом добавил: „Я заключил, что сперма принадлежит Эндрю Дину”. Даже судья в своем заключении заявил, что соотношение одного к трем миллионам „выражает почти несомненный факт”».
По замечанию Йейтса, особенность этого случая в том, что для развенчания сомнительного вывода даже не нужно ничего пересчитывать или применять к имеющимся данным какие-то другие математические методы — достаточно просто взглянуть на них под другим углом. Ход рассуждений следующий: на тот момент в Великобритании насчитывалось около 30 миллионов мужчин. «Один на три миллиона» — это соотношение, которое эффектно звучит с точки зрения присяжных, но на деле это значит, что в Великобритании жило еще как минимум девять человек, анализ ДНК которых дал бы подобный результат. Причем «даже если ограничиться семью миллионами мужчин, живущих в пределах часа езды от центра Манчестера, мы все равно сможем ожидать, что по крайней мере еще один мужчина соответствует профилю, что делало шансы на виновность или невиновность Дина равновероятными: один к одному».
К тому же (правда, к математике это уже не особо относится) впоследствии выяснилось, что и анализы были проведены не совсем точно, и шанс совпадения сокращался на несколько порядков. По совокупности этих причин приговор Дину в итоге был отменен.
8. У людей в среднем меньше двух ног
Статистика — это один сплошной парадокс. Йейтс посмеивается над ней, отмечая, что при всей точности данных, которыми располагает статистика, она все равно оказывается ближе к искусству, чем к науке. Он иллюстрирует этот тезис, рассказывая про «экологическую ошибку» — так называется поверхностное допущение о том, что обо всей разнообразной популяции можно судить по одному статистическому параметру.
«Как ни удивительно, при средней продолжительности жизни в 78,8 года большинство британских мужчин проживет дольше, чем при общей продолжительности жизни населения 81 год. <...> Это связано со спецификой использования статистических методов для обобщения данных. Небольшое, но значимое количество людей, умирающих молодыми, снижает средний возраст смерти (обычно за общую продолжительность жизни принимают сумму возрастов всех людей на момент смерти каждого, деленную на общее число людей). Как ни странно, эти ранние смерти опускают среднее значение продолжительности жизни намного ниже медианного».
Звучит, возможно, сложновато для восприятия, но на этот случай у автора есть любимая иллюстрация — старая загадка, которая звучит следующим образом: «Каков шанс на то, что у следующего человека, которого вы встретите на улице, ног будет больше, чем в среднем у людей?» Ответ: «Почти наверняка». Обывательское представление заключается в том, что у следующего встречного будет две ноги — а это не «больше», а «как у всех». Но количество одноногих или безногих людей (которых на свете явно больше, чем трехногих) опускает среднее значение ниже двойки. Так что каждый счастливый обладатель двух ног имеет их больше, чем в среднем.
9. Возможно, перейти на двоичную систему было бы безопаснее для всех нас
Математика влияет на нашу жизнь не только в непосредственном отношении, когда речь заходит об области вычислений и законов, на которых основана наша повседневность, но и косвенно: например, в тех случаях, когда ошибки возникают не из-за сложности понимания, а из-за обычного фактического неудобства. Ну вот самый элементарный пример: десятичный разделитель трудно напечатать так, чтобы он оказался на своем месте, он постоянно куда-нибудь убегает и перемещается. Иногда это приводит к фатальным последствиям (если, например, речь идет о дозировке лекарств), а иногда просто к дурацким:
«Так, накануне всеобщих выборов 2010 года в Великобритании Консервативная партия опубликовала документ, привлекающий внимание к разрыву между богатыми и бедными районами Великобритании, образовавшемуся при действующем лейбористском правительстве. В документе утверждалось, что в самых бедных районах страны 54% девочек забеременели в возрасте до 18 лет (по сравнению с 19% в самых богатых районах)».
Леденящие душу показатели. К счастью, в документ попросту вкралась ошибка — в действительности цифры составляли лишь 5,4 и 1,9%. Выпад консерваторов обернулся против них самих: соперники тут же раскритиковали их за неспособность соотнести абстрактные цифры с реальным положением вещей в стране. Йейтс отмечает, что досадные опечатки могут показаться слишком незначительной темой, но указывает, что за ними стоит системная проблема: таковы особенности десятеричной системы счисления и записи. А, скажем, двоичная система, на которой основана вся наша современная компьютерная технология, конечно, посложнее с точки зрения использования в быту, но зато она исключает риски глупых ошибок такого рода.
10. Составленный алгоритмами призыв «насиловать всех» дорого обошелся их создателям
Отдельное внимание Йейтс уделяет разнообразным оптимизирующим алгоритмам: они могут приносить человечеству как вред, так и пользу, но есть среди них и такие, которые раздражают практически всех, — речь идет об алгоритмах, которые используют IT-гиганты и в соответствии с которыми, например, ленты соцсетей часто выглядят совсем не так, как нам хотелось бы. Видимо, для того, чтобы читатель мог ощутить себя хотя бы отчасти отмщенным, автор приводит несколько историй, в которых крупные компании сами становились жертвами работы алгоритмов.
Одна из таких историй связана с популярностью агитационного плаката «Keep calm and carry on», выпущенного в Великобритании в 1939 году и ставшего мемом в начале нулевых. Плакат стал полноценной частью массовой культуры и использовался и переосмыслялся где только можно. В 2010 году его взял в оборот онлайн-мерчандайзер Майкл Фаулер, который стал отпечатывать на футболках плакат с разными вариациями слогана, сконструированными по принципу «Keep calm» + «глагол» + «существительное». Для генерации подобных вариаций он написал специальную программу, которая подбирала слова и проверяла предложение на наличие синтаксических ошибок.
«На пике продаж <...> Фаулер продавал 400 футболок в день с фразами типа „Сохраняйте спокойствие и надирайте задницы” или „Сохраняйте спокойствие и много смейтесь”. Проблема заключалась в том, что он также автоматически выставил на продажу в крупнейшем в мире интернет-магазине несколько футболок с фразами типа „Сохраняйте спокойствие и пните ее” или „Сохраняйте спокойствие и насилуйте всех”».
Когда эти фразы привлекли внимание, разразился скандал: в фейсбуке на Фаулера обрушилась волна ненависти и угроз, и, несмотря на то, что он снял спорные футболки с продажи, эту волну было уже не остановить. Amazon отреагировал на происходящее не сразу, что только подлило масло в огонь: компании объявили бойкот (который в том числе поддержали некоторые представители британской элиты), и в результате она понесла убытки — вряд ли особо ощутимые, но символически весьма значимые.