Все мы начиная с 24 февраля 2022 года оказались перед лицом наступающего варварства, насилия и лжи. В этой ситуации чрезвычайно важно сохранить хотя бы остатки культуры и поддержать ценности гуманизма — в том числе ради будущего России. Поэтому редакция «Горького» продолжит говорить о книгах, напоминая нашим читателям, что в мире остается место мысли и вымыслу.
Сергей Самойленко. Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни. М.: Манн, Иванов и Фербер, 2022. Содержание
1. Неизбежность запутывания наушников доказывается математически
Книга Самойленко хороша в том числе и тем, что содержит внятные и развернутые ответы на вопросы, которые могут казаться нам хрестоматийными — по отдельности ответы на многие из них, в принципе, можно отыскать в сети, но именно в книге «Вероятности и неприятности» все они собраны в один список, который может пригодиться читателю в самых разных ситуациях. Например, начинается книга с канонического вопроса о том, почему наушники в кармане всегда запутываются. Если вы ранее задавались этим вопросом (а вы задавались), но забывали поискать ответ — Самойленко приводит его со ссылкой на серьезную научную статью «Спонтанное образование узлов на возбуждаемой нити», написанную учеными из Сан-Диего в 2007 году. В этой статье авторы доказывают, что, согласно теории узлов и теории вероятностей, наушники просто не могут не запутываться уже спустя несколько секунд тряски. В этом виноваты петли, в которые попадают три конца наушников — штекер и два динамика.
«Если бы концов у наушников не было и они представляли собой замкнутое кольцо, то неразвязываемый узел образоваться бы не смог. Ведь узлы не только не исчезают, раз появившись, но и не возникают сами, если их изначально не было. С этой неприятностью вполне можно бороться математическим способом: нужно либо исключить концы, что в случае наушников неинтересно, либо убрать петли».
Смотать наушники так, чтобы они не запутались, достаточно легко — нужно обматывать их крест-накрест вокруг двух пальцев. Впрочем, тут уже начинается не теория, а чистая практика из разряда бытовых лайфхаков.
2. Принцип «80/20» в привычном нам изложении не имеет под собой никаких оснований
«Принцип Парето» или принцип «80/20» часто формулируется следующим образом: «80% усилий дают 20% результатов». По замечанию Самойленко, именно этот вывод (только, возможно, в более крепких выражениях) формулирует для себя, например, велосипедист, когда ему приходится преодолевать путь на пониженной передаче.
На самом деле, конечно, это никакой не принцип, а просто расхожая риторическая конструкция — в отличие от многих других приведенных в книге «законов Мерфи», его никто никогда не доказывал и не выводил математически. Тем не менее автор сообщает, что у «принципа Парето» есть более строгое обобщение, известное как «парадокс инспекции».
«Это хорошо известное явление встречается в разных исследованиях, связанных с социологическими опросами, тестированием, и в теории отказов (разделе прикладной математики, занимающемся надежностью сложных систем), неявно, но систематически смещая наблюдаемые результаты в сторону наиболее часто наблюдаемых явлений».
В качестве иллюстрации Самойленко приводит классический пример, связанный с неудовольствием пассажиров общественного транспорта. Допустим, если движение организовано плохо, то в короткий час пик автобусы переполняются, а все остальное время дня ходят почти пустые. Если спросить пассажиров, они, скорее всего, пожалуются на то, что им пришлось ехать в переполненном транспорте (ведь в переполненном автобусе оказывается больше людей, чем в пустом — логично, верно?). А вот у водителей будет совсем другое мнение: они скорее пожалуются на то, что большую часть времени им приходится курсировать впустую.
3. Наше отношение к дельфинам отчасти сформировано «ошибкой выжившего»
«Систематическая ошибка выжившего» напрямую связана с «парадоксом инспекции» — и несмотря на то, что она давно превратилась в штамп, который мы нередко поминаем к месту и не к месту, она заслуживает самого серьезного внимания. Чтобы проиллюстрировать ее, Самойленко приводит не навязший на зубах пример с летчиками военной авиации, а чуть менее распространенный пример с дельфинами, которые, как ошибочно принято считать, спасают утопающих:
«Дельфины обнаруживают на поверхности моря любопытный несъедобный объект (человека) и играют с ним, подталкивая носом. При этом они необязательно толкают его в сторону ближайшего берега — часть людей они уводят в открытое море, поскольку разумно предположить, что для дельфина берег, да еще и населенный людьми, опасен. Однако, если всё же дельфины толкают потерпевшего именно к берегу, в сторону спасения, и он благодаря этому выживает, весь мир облетает новость: дельфины спасли человека! О поведении дельфинов во всех прочих печальных случаях, увы, мы не узнаем ничего. Эти элементы из мешка мы не достанем и в статистику они не попадут, так что мы получим явно искаженную картину».
Самойленко отмечает, что и парадокс инспекции, и ошибка выжившего опасны не только при статистических вычислениях, но и на бытовом уровне: они «действительно способны искажать восприятие действительности, омрачая ее либо придавая излишне радужную окраску».
4. С «эффектом бабочки» тоже все далеко не так просто
Под «эффектом бабочки» традиционно подразумевается цепочка далеко идущих драматичных последствий, к которым приводит какое-нибудь совершенно незначительное событие. Само это понятие вошло в обиход сначала благодаря рассказу Рэя Брэдбери «И грянул гром», в котором именно бабочка стала причиной фундаментальных изменений в далеком будущем, а затем благодаря одной из лекций создателя теории динамического хаоса Эдварда Лоренца под названием «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?».
К счастью или к сожалению, «эффект бабочки» — просто красивый образ, который позволяет нам оправдывать ситуативные неудачи какой-то неизбежной логикой событий, но не подкрепляется никакими вычислениями:
«Мы видим, что сосуществуют истинно стохастический квантовый мир и сверхточные атомные часы, устойчивые гамильтоновы системы в мире звезд и галактик и хаос колец Сатурна или пояса Койпера, тепловое движение молекул и удивительная точность работы биологических систем или механизмов автомобиля. Нет, взмах крыла бабочки не рождает ураганов, а бесследно исчезает, порождая цепочку вихрей, передающих энергию и информацию все более и более мелким вихрям, пока и энергия, и информация не исчезнут в хаосе флуктуаций».
Самойленко констатирует, что эффект все же может иметь место, но при четко определенных начальных условиях: малые отклонения приводят к кардинальной перестройке системы, только если она уже неустойчива или находится на пороге бифуркации или катастрофы (так на языке математики называются глобальные перестройки в поведении системы при малых непрерывных изменениях параметров).
5. Масло никак не определяет судьбу падающего бутерброда
Еще один расхожий пример — пожалуй, даже более каноничный, чем моментально запутывающиеся наушники, — пример с бутербродом, который якобы всегда падает маслом вниз. Разбору этого бутербродного кейса Самойленко уделяет немало внимания, поскольку его нельзя свести только к одному аспекту или одной цепочке вычислений — на падение бутерброда влияет довольно много различных факторов и принципов. Остановимся здесь на одном расхожем заблуждении, согласно которому в исходе падения бутерброда виновато масло — действительно, не вдаваясь в подробности, легко предположить, что масло плотнее хлеба, поэтому «перевешивает» при падении. Это не так.
«Представим себе воздушный шар: более плотная корзина всегда располагается под менее плотным шаром. Более того, опыт подсказывает, что если взяться двумя пальцами за геометрическую середину предмета с несимметрично распределенной массой, то он кувыркнется так, чтобы тяжелая часть оказалась внизу. Но ни одно из этих явлений не работает в случае падающего бутерброда».
Например, если подбросить вверх перышко с грузиком, оно действительно будет красиво и предсказуемо планировать: воздух «держит» предметы таким образом, что ось вращения проходит выше центра тяжести: набегающий поток воздуха создает силу, распределенную по площади тела. С бутербродом ничего подобного не происходит: если исключить из вычислений фактор воздуха, то не происходит вообще, а если иметь воздух в виду, то его влияние сводится к жалким 0,2%. Самойленко доказывает это с помощью ряда непростых вычислений, заметно раздражаясь от того, что ему приходится уделять этой тривиальной проблеме столько внимания.
6. Самый пессимистичный «закон Мерфи» лежит в основе теории надежности
Этот закон заключается в следующем: то, что может пойти не так, пойдет не так. У Самойленко для читателей плохие новости: в принципе, этот тезис вполне можно доказать математически.
«Пусть для выполнения некоторой работы требуется совершить ряд действий, и для каждого из них существует маленькая, но отличная от нуля вероятность неудачи. Какова вероятность того, что все задуманное пройдет без сучка без задоринки? Мы имеем дело с пересечением множества событий, каждое из которых соответствует успешному завершению того или иного этапа работы. Как посчитать вероятность для пересечения двух событий, мы уже знаем: для этого нужно перемножить вероятность второго события при условии, что первое случилось, на вероятность первого события».
Далее автор выводит из этих предпосылок общую формулу и производит еще несколько вычислений, согласно которым выходит, что если на одном шаге вероятность ошибки составляет всего 5%, то после дюжины шагов вероятность провала всего дела достигает поистине пугающей величины.
В принципе, как отмечает автор, эти вычисления крайне просты, да и сам закон скорее кажется трюизмом, но и недооценивать его не стоит. По сути, именно он порядка семидесяти лет назад лег в основу новой большой науки под названием «теория надежности», которая нашла применение в самых разных сферах, — от инженерного дела до экономики и программирования. Математики, стоявшие у истоков этой науки, добавили в вычисления массу новых факторов, включая человеческий фактор и фактор времени, из-за чего простой изначальный посыл развился в невероятно сложные системы. «Закон Мерфи с учетом времени — страшная сила», — констатирует Самойленко.
7. Отсев спама и поиск пропавших кораблей ведется по одним и тем же принципам
Как работает спам-фильтр? Каждому сообщению в почте он ставит в соответствие вероятность того, что это спам. Откуда берется такая вероятность? Вычисляется исходя из частотности характерных слов и спама среди прочих сообщений. Так выводится некое число, по которому можем ранжировать сообщения, имея в виду степень «близости» или «похожести» текста на спам. Причем никакого «эталона спама», с которым можно было бы соотнести результат, не существует, так что и ошибки не исключаются полностью.
Интересно, что вероятность в работе спам-фильтра — это та же вероятность, которая используется в современном подходе к поиску самолета или судна, потерпевшего крушение в океане. Она называется байесовским поиском, так как в ее основе лежит понятие условной вероятности, рассчитываемой согласно теореме Байеса. Вот как это происходит:
«В начале поисково-спасательных работ обследуемый участок территории разбивается на отдельные клетки (квадраты), потом с учетом направления движения судна или самолета строится априорное распределение вероятности того, что искомый объект находится в том или ином квадрате. Поисковые работы далее проводятся в двух основных направлениях: проверка наиболее вероятных квадратов и отсечение маловероятных. Таким образом, вероятность превращается в метрику, позволяющую сравнивать квадраты между собой. <...> Во время поисковых работ квадраты, оказавшиеся пустыми, отсекаются. При этом они не просто вычеркиваются — остается некоторая ненулевая вероятность того, что искомый объект все же находился там, но не был обнаружен».
8. Один из самых известных «законов подлости» опирается на теорию очередей
Соседняя очередь всегда движется быстрее. В отличие от многих «законов Мерфи», которые до того, как были собраны Блохом в одну книгу, так и бытовали в форме трюизмов и поговорок, этот существовал в форме вполне конкретной области научного знания. Конечно, не в таком упрощенном виде, но тем не менее:
«Теория очередей появилась в самом начале XX века, с первых работ датского математика Агнера Эрланга (1878—1929), который занимался зарождающейся областью телекоммуникаций. За сотню лет результаты исследований Эрланга прочно вошли в нашу жизнь — настолько, что возникает ощущение, будто мы вошли в мир телекоммуникаций. Несколько позже большой вклад в развитие этой науки внес советский математик Александр Яковлевич Хинчин (1894—1959), который вместе с Андреем Николаевичем Колмогоровым (1903—1987) заложил основы современной теории вероятностей».
В России теорию очередей больше знают как «теорию массового обслуживания» — ее применяют в проектировании магазинов, залов ожидания, разных присутственных мест и систем. Доступна она даже в самом бытовом изводе. Оказавшись в очереди, вы можете самостоятельно рассчитать, сколько еще вам придется в ней торчать: для этого надо будет взглянуть на ее растущий хвост. Посчитайте, сколько человек добавилось за десять минут, а потом разделите количество людей перед вами на полученное число. Так вы вычислите среднее время ожидания в десятках минут. Об этом говорит теорема Литтла — один из самых ранних и самых общих результатов теории очередей. «Тем и хороша математика, что она способна сделать увлекательным даже стояние в очереди», — довольно констатирует Самойленко.
9. Ни игральные кости, ни «маятники случайности» не имеют к вероятностям почти никакого отношения
Автор книги рассказывает, что в сувенирных магазинах часто продаются магнитные «маятники для выбора желаний» — механические «генераторы случайностей», которые колеблются до тех пор, пока не останавливаются в одном из секторов, содержащих тот или иной ответ на запрос владельца маятника. Все это занятно (и, наверное, действительно может помочь кому-то определиться с непростым решением), но надо понимать, что истинной случайностью тут и не пахнет:
«Колебания и здесь не непредсказуемы, просто они очень чувствительны к начальным условиям. Для каждого сектора, в котором может остановиться маятник, существует область притяжения в пространстве координат-скорости. Это множество таких начальных условий, при которых маятник обязательно притянется к определенной точке в указанном секторе. Точка остановки маятника называется аттрактором — притягивающей точкой»
Соответственно ведут себя и игральные кости, и рулетка в казино — сами по себе генераторами случайности они считаться не могут, в теории их поведение всегда можно заведомо просчитать. Иное дело, например, стохастические и хаотические системы. В качестве примера стохастической систем Самойленко приводит появление автомобилей на дороге — участники движения не договариваются между собой, мы никогда не будем обладать достаточно точной информацией, которая помогла бы исчерпывающе описать все дорожное движение в городе — для этого нужно буквально предвидеть будущее, а также быть на 100% уверенным в намерениях каждого водителя в следующую секунду и в следующий час.
10. Погода в выходные действительно хуже, чем в будни
На самом деле это не факт, а обманка, призванная заставить нас задуматься о том, как часто мы смешиваем принципиально разные объяснения одних и тех же фактов, за уши притягивая причину к ее мнимому следствию. Что касается погоды — существует «закон Мерфи», согласно которому она предпочитает ухудшаться в выходные (имеется в виду, что божественное провидение специально подстраивает это, чтобы испортить уик-энд лично вам). Автор книги рассказывает, что совсем недавно в Австралии была опубликована статья под названием «Недельные циклы пиковой температуры и интенсивность городских тепловых островов». Журналисты интерпретировали данные из этой статьи по-своему, поспешив заявить, что погода на выходных действительно хуже, чем в будние дни. Очевидно, что они апеллировали к расхожему «закону подлости», однако дело было вовсе не в нем. Австралийские исследователи всего-навсего проанализировали статистику температуры и осадков за много лет в нескольких городах Австралии и выявили понижение температуры на 0,3°C в определенные часы субботы и воскресенья, связав это с тем, что локальная погода напрямую зависит от возрастающего по будням транспортного потока. Если подумать, это довольно логично, и судьба-злодейка в незначительном понижении температуры совершенно не виновата. Поэтому любую статистику очень важно правильно интерпретировать — как минимум для того, чтобы быть уверенным в том, что чего-то не знаешь:
«Мы проведем собственное небольшое исследование на эту тему и получим замечательный результат: можно уверенно утверждать, что мы не знаем, связаны ли на Камчатке день недели и непогода».